บทที่ 3 การวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง

3.1 ความหมายของการวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง

        การวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง หมายถึง การคำนวณเพื่อหาค่าสถิติเพียงคำเดียวที่อยู่ตอนกลางโค้งการแจกแจงของตัวแปร ซึ่งจะใช้เป็นตัวแทนของข้อมูลทั้งชุด จะที่หาได้นี้จะทำให้ทราบถึงลักษณะของข้อมูลทั้งหมดที่เก็บรวบรวมมาได้ ค่าที่หาได้นี้จะเป็นค่ากลาง ๆ อาจเรียกว่า ค่ากลาง

       ค่ากลางของข้อมูลมีหลายชนิด เช่น ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (Arithemic Mean) ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต (Geometric Mean) ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก (Harmonic Mean) ค่ากึ่งกลางพิสัย (Md-range) มัธยฐาน (Median) และฐานนิยม (Mode) ค่ากลางแต่ละชนิดต่างก็มีข้อดี ข้อเสีย และมีความเหมาะสมในการนำไปใช้ไม่เหมือนกันขึ้นอยู่กับลักษณะการแจกแจงของข้อมูลและวัตถุประสงค์ของผู้ใช้ข้อมูลนั้นๆ แต่

ค่ากลางของข้อมูลที่นิยมใช้กันมีอยู่ 3 ชนิด คือ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (Arithmetic Mean) มัธยฐาน (Median)และฐานนิยม (Mode)

การคำนวณหาค่ากลางทั้งสามชนิดนี้โดยทั่วไปแบ่งออกได้เป็น 2 กรณีใหญ่ คือ

        1.การหาค่ากลางของข้อมูลที่ไม่ได้แจกแจงความถี่ (Ungrouped data) ซึ่งค่าที่ได้เป็นค่ากลางที่ถูกต้องแน่นอนของข้อมูลชุดนั้น

        2.การหาค่าลางของข้อมูลที่แจแจงความถี่แล้ว (Grouped Data) ซึ่งค่าที่ได้เป็นค่ากลางโดยประมาณของข้อมูลชุดนั้น

3.2 ประเภทของกการวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง

        3.2.1 ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (Arithemetic Mean)

        ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเหมาะที่จะนำมาใช้เป็นค่ากลางของข้อมูล เมื่อข้อมูลนั้นๆไม่มีค่าใดค่าหนึ่งหรือหลายๆค่า ซึ่งสูงหรือต่ำกว่าค่าอื่นๆมาก เช่น คะแนนสอบวิชาวิทยาศาสตร์ ระดับประกาศนียบัตรวิชาชีพชั้นสูง (ปวส.) ของนักเรียน 10 คน เป็นดังนี้ 70, 72, 68, 3, 71, 74, 70, 67, 73 , ซึ่งค่า 3 และ 5 ถือว่าเป็นค่าที่ต่ำกว่าผิดปกติ การหาค่าเลขคณิตจากข้อมูลที่มีค่าสูงหรือต่ำผิดปกติ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตในกรณีเช่นนี้ จึงไม่เป็นค่ากกลางของข้อมูลชุดนั้น (อาจจะใช้ค่ากลางอื่น เช่น มัธยฐานแทน)

        1. การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลที่ไม่ได้แจกแจงความถี่

การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลที่ไม่ได้แจกแจงความถี่ หาได้โดยตรงจากข้อมูลที่มีอยู่

  จำนวนจากตัวอย่าง (Sample) ซึ่งเป็นตัวแทนของประชากร ดังนั้น ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ
ประชากร (Population Mean) หาได้จาก

หรือ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวอย่าง (Sample Mean)

โดยที่ค่าเฉลี่ยเลขคณิตสัญลักษณ์ อ่านว่า “มิว” และค่าเฉลี่ยเลขคณิตสัญลักษณ์ อ่านว่า “เอ็กซ์บาร์” ตามลำดับที่มีความหมายต่างกัน โดยสามารถสรุปได้ดังนี้

 

คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของประชากร ซึ่งเป็นพารามิเตอร์ (Parameter) ซึ่งค่าจริงแบบหนึ่งของประชากร เรียกว่า พารามิเตอร์  และ N แทนจำนวนหน่วยประชากร (Population Unit)

คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวอย่างซึ่งเป็นตัวประมาณค่า (Estimator) ของพารามิเตอร์

นั้นโดย  คำนวณจากข้อมูลตัวอย่างที่เป็นตัวแทนของประชากร และ n แทนจำนวนหน่วยของตัวอย่าง (Sample Units)

            

 “Summation”

           ควรสังเกตว่า การคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตข้างต้นใช้สูตรคล้ายกัน จึงต้องทำความเข้าใจและแยกสูตรให้ชัดเจน คือ ถ้าเป็นประชากร N หน่วย ให้ใช้  แต่ถ้าเป็นตัวอย่าง n ให้ใช้   

ตัวอย่างที่3.1 จากการตรวจสอบราคาข้าวโพดที่ใช้เลี้ยงสัตว์ในจังหวัดร้อยเอ็ด ที่โรงงาน  รับซื่อในปี พ.ศ. 2552 โดยตรวจสอบเพียงบางโรงงานเพื่อนำมาเป็นตัวอย่าง จำนวน 10 โรงงาน ปรากฏว่าราคาข้าวโพดที่ใช้เลี้ยงสัตว์ซึ่งโรงงานรับซื้อต่อกิโลกรัม (บาท) เป็นดังนี้ 4.57 4.42 5.28 6.80 7.08 4.82 5.48 4.95 7.20 4.43

        จงหาราคาเฉลี่ยต่อกิโลกรัมของข้าวโพดเลี้ยงสัตว์ที่โรงงานรับซื้อ

ดังนั้น ราคาข้าวโพดที่ใช้เลี้ยงสัตว์เฉลี่ยต่อกิโลกรัมมีค่าประมาณ 5.50 บาท    ตอบ

ตัวอย่างที่ 3.2 ในการทดสอบทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์ของนักเรียนระดับ        ประกาศนียบัตรวิชาชีพชั้นสูงคนหนึ่งซึ่งมีคะแนนการทดสอบและความสำคัญของคะแนนทั้งหมด รวม 5 ด้าน จากคะแนนเต็ม 100 คะแนน ดังข้อมูลในตารางจงหาคะแนนเฉลี่ยของการทดสอบทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์ของนักเรียนคนนี้

ด้านที่	ทักษะกระบวนการ	คะแนนที่สอบได้	ความสำคัญของคะแนน
1 2 3 4 5	การแก้ปัญหา การใช้เหตุผล การสื่อสาร การสื่อความหมาย และการนำเสนอ การเชื่อมโยงความรู้ทางคณิตศาสตร์ ความคิดริเริ่มสร้างสรรค์	54 65 70 55 75	30 20 15 20 15
รวม			100

  

                                                                                 

           เมื่อคำนึงความสำคัญของทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์ทั้ง 5 ด้าน คะแนนเฉลี่ยของนักเรียนตนนี้ คือ 61.95 คะแนน

     2. การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว

ในกรณีที่มีข้อมูลจำนวนมากและไม่มีข้อมูลดิบแต่ละหน่วย เช่น ข้อมูลรายงานจากทะเบียนต่างๆในลักษณะที่ได้แจกแจงความถี่แล้วถ้าให้เป็นค่าความถี่ของค่าจากการสังเกตเป็นความถี่ของค่าสังเกตเรื่อยไปจนถึงเป็นความถี่ของค่าจากการสังเกตแล้วสามารถคำนวณค่าเฉลี่ยได้ดังนี้

         

             เมื่อ    N   เป็นจำนวนค่าจากการสังเกตทั้งหมด หรือ N =               

                        X1     เป็นจุดกึ่งกลางของชั้นที่ i

                   K   เป็นจำนวนอัตรภาคชั้น

          หมายเหตุ ถ้าเป็นค่าเฉลี่ยของตัวอย่างที่เป็นตัวแทนของประชากรยังคงใช้ค่าเฉลี่ยแบบเดิม แต่เปลี่ยน  เป็น  และหารด้วย n แทน N

           ตัวอย่างที่ 3.3   เงินเดือนของพนักงานทั้งหมดในบริษัทร้อยเอ็ดเอ็ดมิตซู จำกัด ซึ่งเป็นตัวแทนจำหน่ายรถยนต์ในจังหวัดร้อยเอ็ด ซึ่งมีพนักงานทั้งหมด 120 คน โดยมีการแจกแจงความถี่ไว้แล้วดังนี้

เงินเดือน	จำนวนพนักงาน
5,000 – 6,999 7,000 – 8,999 9,000 – 10,999 11,000 – 12,999 13,000 – 14,999 15,000 – 16,999 17,000 – 18,999 19,000 – 20,999	5 10 20 19 20 25 11 10

          จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของเงินเดือนพนักงานทั้งหมดในบริษัทแห่งนี้

          วิธีทำ เพื่อความสะดวกในการคำนวณหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตควรสร้างตารางดังนี้

                             

           ดังนั้น เงินเดือนเฉลี่ยของพนักงานร้อยเอ็ดมิตซู ซึ่งมีพนักงานทั้งหมด 120 คนมีเงินเดือนเฉลี่ยเท่ากับ 12,532.83 บาท (โดยประมาณ)

           ตัวอย่างที่ 3.4 คะแนนเฉลี่ยจากการสอบวิชาคอมพิวเตอร์เพื่องานอาชีพของนักเรียนระดับประกาศนียบัตรวิชาชีพ ชั้นปีที่ 2 แผนกวิชาการบัญชี ของวิทยาลัยอาชีวศึกษาร้อยเอ็ด จำนวน 3 ห้องมีคะแนนแต่ละเป็น 50, 65 และ 76 คะแนนนักเรียนของห้องที่เป็นกลุ่มตัวอย่างมีจำนวนนักเรียนในแต่ละห้องเป็น 40, 50 และ 30 คน ตามลำดับ จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบวิชาคอมพิวเตอร์เพื่องานอาชีพของนักเรียนประกาศนียบัตรวิชาชีพ ชั้นปีที่ 2 แผนกวิชาการบัญชีทั้ง 3 ห้อง

          

           ดังนั้น คะแนนสอบวิชาคอมพิวเตอร์เพื่องานอาชีพ โดยเฉลี่ยของนักเรียนระดับประกาศนียบัตรวิชาชีพ ชั้นปีที่ 2 แผนกวิชาการบัญชี วิทยาลัยอาชีวศึกษาร้อยเอ็ด ทั้ง 3 ห้อง คือ 63.75 คะแนน ตอบ

           กล่าวคือ คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนชั้นทั้ง 3 ห้อง มีค่ากลางเท่ากับ 62.75 คะแนน สังเกตว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวมที่หาได้นี้มีค่าอยู่ระหว่าง 50 และ 70 คะแนนด้วย ฃ

           ตัวอย่างที่ 3.5 คะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษ โดยเฉลี่ยของนักเรียนในโรงเรียนมัธยมศึกษาแห่งหนึ่งได้ผลดังตาราง

ระดับชั้น	จำนวนนักเรียน	คะแนนเฉลี่ย
ม.1 ม.2 ม.3 ม.4 ม.5 ม.6	50 40 45 50 60 50	65 70 60 75 50 70
รวม	295	390

        

           ดังนั้น คะแนนเฉลี่ยรวมของนักเรียนในโรงเรียนมัธยมศึกษาแห่งนี้ เท่ากับ 64.41 คะแนน ตอบ

           กล่าวคือ ค่ากลางของคะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษของนักเรียนโรงเรียนนี้มีค่าเท่ากับ  64.41 คะแนน

3.2.2 มัธยฐาน (Median)

        มัธยฐาน คือ ค่าที่มีตำแหน่งอยู่กึ่งกลางของข้อมูลทั้งหมด โดยเรียงลำดับข้อมูลจากค่าน้อยที่สุดไปหาค่ามากที่สุด หรือจากค่ามากที่สุดไปหาค่าน้อยที่สุด นั่นคือ มัธยฐานเป็นค่าที่แสดงให้ทราบว่ามีจำนวนข้อมูลที่มากกว่าและน้อยกว่ามัธยฐานอยู่เท่าๆกัน นั่นคือ มัธยฐานเป็นค่าที่แบ่งข้อมูลที่เรียงลำดับแล้วออกเป็น 2 ส่วน โดยมีข้อมูลจำนวนที่มากกว่าและน้อยกว่ามัธยฐานร้อยละ 50 ค่ามัธยฐานอาจเป็นค่าใดค่าหนึ่งของข้อมูล ซึ่งเป็นค่าจากการสังเกตหรืออาจเป็นค่าที่คำนวณขึ้นมาใหม่ที่ไม่ตรงกับค่าของข้อมูลในชุดนั้นๆ

        จุดเด่นของการใช้ค่ามัธยฐาน คือ ค่ามัธยฐานเป็นค่าเหมาะสมที่จะนำมาใช้เป็นค่ากลางของข้อมูลเมื่อข้อมูลนั้นๆมีค่าใดค่าหนึ่งหรือหลายๆค่า ซึ่งสูงหรือต่ำกว่าค่าอื่นมาก หรือต้องการทราบว่าค่าที่เป็นไปได้ค่าใดของข้อมูลนั้นๆมีจำนวนค่าสังเกตที่มากกว่าและน้อยกว่าค่านี้อยู่ประมาณเท่าๆกัน

        1.การหามัธยฐานของข้อมูลที่ไม่ได้แจกแจงความถี่

วิธีนี้หาได้โดยการเรียงข้อมูลที่มีอยู่ทั้งหมดจากค่าน้อยไปหามากหรือจากค่ามากไปหาน้อยอย่างใดอย่างหนึ่ง แล้วสังเกตว่าค่าของข้อมูลค่าใดอยู่ตรงกึ่งกลางของข้อมูลทั้งหมด ค่านั้นเป็นมัธยฐานของข้อมูลชุดนั้น ในกรณีที่มีจำนวนข้อมูลทั้งหมดอยู่เป็นจำนวนคู่ มัธยฐานจะอยู่ระหว่างข้อมูลสองค่าที่อยู่กึ่งกลางข้อมูลทั้งหมด ซึ่งนิยมใช้ค่าเฉลี่ยของข้อมูลสองค่านั้น ในกรณีที่จำนวนข้อมูลทั้งหมดเป็นจำนวนคี่มัธยฐาน คือ ค่าที่อยู่ตรงกลางของข้อมูลที่เรียงลำดับทั้งหมด ดังนั้น มัธยฐานอาจเป็นค่าที่ปรากฏอยู่ในข้อมูลชุดนั้นหรือไม่ก็ได้ เช่น มัธยฐานของข้อมูล 12, 13, 15, 17, 18 คือ 15 ส่วนมัธยฐานของข้อมูล 66, 63, 63, 62, 61, 60, 60, 60, คือ = 61.5

โดยทั่วไป ถ้าจัดเรียงข้อมูลชุดหนึ่งซึ่งมี N ค่า มัธยฐานจะอยู่ตำแหน่งที่ เช่น ถ้าจำนวนข้อมูลชุดหนึ่งมี 11 ค่า เมื่อจัดเรียงแล้ว มัธยฐานจะอยู่ตำแหน่งที่ = 6

        ถ้าจำนวนข้อมูลมีค่า 14 ค่า เมื่อจัดเรียงแล้ว มัธยฐานจะอยู่ตำแหน่งที่ =7.5

        ในปัจจุบันการหาค่าสถิติต่าง สามารถใช้เครื่องคอมพิวเตอร์ช่วยในการคำนวณได้โดยง่าย การหามัธยฐานก็เช่นกันถ้ามีข้อมูลดิบครบทุกหน่วยจะนิยมใช้วิธีการหาค่ามัธยฐานของข้อมูลที่ไม่ได้แจกแจงความถี่มากกว่าวิธีการหาค่ามัธยฐานของข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว

        ตัวอย่างที่ 3.6 จงหาค่ามัธยฐานของจำนวนเงินฝากของธนาคารพาณิชย์ในประเทศไทยในรอบ 10 ปีที่ผ่านมาตั้งแต่ พ.ศ. 2536 ถึง พ.ศ. 2545 ซึ่งมีจำนวนเงินฝากในแต่ละปีดังตาราง

พ.ศ.	จำนวนเงินฝาก(ล้านล้านบาท)
2536 2537 2538 2539 2540 2541 2542 2543 2544 2545	2.43 2.76 3.25 3.68 4.31 4.69 4.67 4.91 5.11 5.22

        วิธีทำ เมื่อเรียงจำนวนเงินฝากของธนาคารพาณิชย์ในประเทศไทยในแต่ละปี จากจำนวนเงินฝากที่น้อยที่สุดถึงจำนวนเงินฝากที่มากที่สุดจะได้ดังนี้

2.43  2.76  3.25  3.68  4.31  4.69  4.67  4.91  5.11  5.22

        สูตร การหาค่าตำแหน่งของมัธยฐาน คือ

        มัธยฐานอยู่ในตำแหน่งที่                      = 5.5                                                     

ดังนั้น มัธยฐานของจำนวนเงินฝากของธนาคารพาณิชย์ของประเทศไทยเท่ากับ

= 4.49 ล้านล้านบาท หรือ 4,490,000 ล้านบาท

กล่าวคือ  ธนาคารพาณิชย์ในประเทศไทยมีจำนวนเงินฝากประมาณปีละ 4,490,000 ล้านบาท

2.การหามัธยฐานของข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว

        สำหรับข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว การหามัธยฐานในกรณีนี้จะให้ค่าโดยประมาณเนื่องจากไม่สามารถนำข้อมูลมาเรียงกันได้ แต่ทราบว่าในแต่ละอันตรภาคชั้นมีข้อมูลอยู่จำนวนเท่าไร (ความถี่) ก่อนอื่นจึงต้องหาค่ามัธยฐานตกอยู่ในอันตรภาคชั้นใดโดยพิจารณาจากความถี่สะสมแล้วหาค่าโดยประมาณของมัธยฐานจากอันตรภาคชั้นนั้นถ้าข้อมูลชุดที่พิจารณามีผลรวมของความถี่เป็น N มัธยฐานคือ ค่าที่แสดงให้ทราบว่ามีจำนวนข้อมูลอยู่ต่ำกว่าค่านี้อยู่  จำนวน และมีจำนวนข้อมูลค่านี้อยู่จำนวน

ตัวอย่างที่ 3.7 จงหามัธยฐานของปริมาณข้าวที่บริษัทโรงสีบัวสมหมาย จังหวัดร้อยเอ็ด ส่งออกไปขายยังประเทศเพื่อนบ้านเป็นระยะเวลา 22 ปี ซึ่งมีการแจกแจงความถี่ดังตาราง

ปริมาณข้าวส่งออก(แสนตัน)	ความถี่	ความถี่สะสม
0.80-0.99 1.00-1.19 1.20-1.39 1.40-1.59 1.60-1.79 1.80-1.99 2.00-2.19	1 3 6 9 0 1 2	1 4 10 19 19 20 22

        วิธีทำ ครึ่งหนึ่งของจำนวนข้อมูล คือ  = 11 ซึ่งไม่ตรงกับความถี่สะสมใน

อันตรภาคชั้นใดจึงเทียบหาว่าความถี่สะสม 11 ตรงกับค่าที่เป็นไปได้ค่าใดจากตารางดังนี้

อันตรภาคชั้น 1.20-1.39 มีความถี่สะสม 10 หมายความว่า มีข้อมูลต่ำกว่า 1.395(ซึ่งเป็นขอบเขตบนของอันตรภาคชั้นนี้) อยู่ 10 จำนวน

อันตรภาคชั้น 1.40-1.59 มีความถี่สะสม 19 หมายความว่า มีข้อมูลต่ำกว่า 1.595 อยู่ 19 จำนวน

เพื่อให้ได้ค่าที่มีข้อมูลต่ำกว่าอยู่ 11 จำนวน จึงต้องจะคิดเทียบจากอันตรภาคชั้น 1.40-1.59 ซึ่งมีความถี่ 9 โดยถือว่าค่าของข้อมูลที่ตกอยู่ในอันตรภาคชั้นนี้ทั้ง 9 ค่ากระจายกันอยู่อย่างสม่ำเสมอ โดยใช้วิธีเทียบส่วนดังนี้

ความถี่สะสมเพิ่มขึ้น 19-10=9 ค่าที่เป็นไปได้เพิ่มขึ้น 1.595-1.395 = 0.200

ความถี่สะสมเพิ่มขึ้น 11-10=1 ค่าที่เป็นไปได้เพิ่มขึ้น = 0.022

ดังนั้น ค่าโดยประมาณของมัธยฐาน คือ 1.395 +0.022 =1.417 แสนตัน

ในกรณีที่ครึ่งหนึ่งของจำนวนข้อมูลตรงกับความถี่สะสมในอันตรภาคชั้นใด จะใช้ขอบบนของอัตรภาคชั้นนั้นเป็นมัธยฐาน

ในตัวอย่างข้างต้น ถ้าไม่มีอัตรภาคชั้นสุดท้าย คือ ช่วง 2.00 – 2.19 แสนตัน ครึ่งหนึ่งของจำนวนข้อมูลจะเท่ากับ  = 10 ซึ่งตรงกับความถี่สะสมของอัตรภาคชั้น 1.20 – 1.39 ในกรณีนี้มัธยฐาน คือ 1.395 แสนตัน

การหามัธยฐานของข้อมูลที่แจกแจงความถี่โดยวิธีในตัวอย่างที่  3.7 เมื่อนำมาเขียนเป็นสูตรจะได้ดังนี้

3.2.3 ฐานนิยม (Mode)

        ฐานนิยมคือ ค่าของข้อมูลที่มีความถี่สูงสุด ใช้เป็นค่ากลางของข้อมูลอีกชนิดหนึ่งนอกเหนือจากค่าเฉลี่ยเลขคณิต และมัธยฐานที่ได้กล่าวมาแล้ว ส่วนมากฐานนิยมจะใช้กับข้อมูลเชิงคุณภาพมากกว่าข้อมูลเชิงปริมาณ

        ฐานนิยมเหมาะที่จะนำมาใช้เป็นค่ากลางของข้อมูลเมื่อข้อมูลนั้นๆเป็นค่ามาตรฐาน เช่น ขนาดของรองเท้า ขนาดยางรถยนต์ ฯลฯ หรือข้อมูลที่แจกแจงความถี่ตามกลุ่มหรือช่วงต่างๆและโยเฉพาะเมื่อมีข้อมูลที่มีค่าสูงหรือต่ำผิดปกติรวมอยู่ด้วย

        1. การหาฐานนิยมของข้อมูลที่ไม่ได้แจกแจงความถี่

        ฐานนิยมของข้อมูลชนิดนี้หาได้จากการดูว่าข้อมูลที่มีอยู่ทั้งหมดมีความถี่สูงสุดหรือปรากฏบ่อยครั้งที่สุด ข้อมูลนั้นจะเป็นฐานนิยมของข้อมูลชุดนั้น

        ตัวอย่างที่ 3.8 จงหาฐานนิยมของอายุนักเรียนที่มาเข้าค่ายคอมพิวเตอร์ จำนวน 15 คน ดังนี้ 5, 8, 7, 6, 7, 8, 12, 11, 10, 11, 8, 6, 8, 7 และ 8 ปี

        วิธีทำ ฐานนิยมของอายุนักเรียนที่มาเข้าค่ายคอมพิวเตอร์ทั้ง 15 คน คือ 8 ปี เพราะนักเรียนที่มาเข้าค่ายคอมพิวเตอร์มีอายุ 8 ปี มากที่สุด คือ 5 คน กล่าวคือ นักเรียนที่มาเข้าค่ายคอมพิวเตอร์มีอายุ 8 ปี มีจำนวนมากที่สุด

        การหาฐานนิยมโดยวิธีดังกล่าว ข้อมูลบางชุดอาจไม่มีฐานนิยมก็ได้หรืออาจจะมีฐานนิยมเกินกว่า 1ค่าก็ได้ เช่น ข้อมูลที่ประกกอบด้วย 5, 8, 9, 10, 12, 18, 16, 20 จะไม่มีฐานนิยม เพราะข้อมูลแต่ละค่ามีความถี่เท่ากันหมด ข้อมูลอีกชุดหนึ่งประกอบด้วย 13, 16, 20, 25, 20, 26, 25 มีค่าฐานนิยม 2 ค่า คือ 20 และ 25 เนื่องจากทั้งสองค่านี้มีความถี่สูงสุดเท่ากัน 2 ค่า อาจจะถือได้ว่าข้อมูลชุดนั้นไม่มีฐานนิยมได้ ตอบ

        หมายเหตุ ในกรณีที่ข้อมูลชุดหนึ่งมีฐานนิยมมากกว่า 1 ค่าอาจหาตัวแปรเชิงคุณภาพอื่นๆที่เกี่ยวข้อง เช่น เพศ ชั้นเรียน ฯลฯ มาแบ่งข้อมูลออกเป็นคนละชุด เพื่อทำให้แต่ละชุดมีฐานนิยมเพียง 1 ค่า

        2. การหาฐานนิยมของข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว

        ถ้าเขียนเส้นโค้งของความถี่ของข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว ฐานนิยม คือ ค่าของ X ที่อยู่ตรงกับจุดสูงสุดบนเส้นโค้งของความถี่ แต่ถ้าเส้นโค้งของความถี่มีจุดสูงสุดสองจุด ข้อมูลชุดนั้นจะมีฐานนิยม 2 ค่า

        ทำนองเดียวกันกับการคำนวณมัธยฐานของข้อมูล คือ ถ้ามีข้อมูลครบทุกหน่วย ควรใช้การคำนวณฐานนิยมโดยตรงจากข้อมูลที่ไม่ได้แจกแจงความถี่เนื่องจากค่าที่คำนวณในกรณีข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว จะให้ค่าโดยประมาณ

        สำหรับการคำนวณหาฐานนิยมของข้อมูลที่ได้แจกแจงความถี่ไว้แล้วทำได้หลายวิธี วิธีหนึ่ง คือ หาจุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้นที่มีฐานนิยมอยู่ ค่าที่หาได้จะเป็นค่าฐานนิยมโดยประมาณ ส่วนการหาว่าฐานนิยมอยู่ในอันตรภาคชั้นใดนั้นจะต้องพิจารณาด้วยว่าอันตรภาคชั้นแต่ละชั้นมีความกว้างเท่ากันหรือไม่ในกรณีที่ความกว้างของอันตรภาคชั้นทุกชั้นเท่ากัน อันตรภาคชั้นที่มีฐานนิยมคือ อันตรภาคชั้นที่มีความถี่สูงสุด ส่วนในกรณีที่อันตรภาคชั้นไม่เท่ากันทุกชั้นให้หารความถี่ด้วยความกว้างของแต่ละอันตรภาคชั้นอันตรภาคชั้นที่ผลหารมากที่สุดจะเป็นอันตรภาคชั้นที่มีฐานนิยมอยู่

        ตัวอย่างที่ 3.9 จากข้อมูลระดับ ปวช.3 จำนวน 40 คน เกี่ยวกับจำนวนเงินที่จ่ายเป็นค่าอาหารในแต่ละสัปดาห์ ดังตาราง

จำนวนเงินที่จ่ายเป็นค่าอาหาร(บาท)	จำนวนนักเรียน
0-49 50-99 100-149 150-199 200-249 250-299	4 7 15 10 3 1

        จงหาฐานนิยมโดยประมาณของจำนวนเงินที่จ่ายเป็นค่าอาหารของนักเรียนทั้ง 40 คนในแต่ละสัปดาห์

        วิธีทำ เนื่องจากความกว้างของอันตรภาคชั้นเท่ากันทุกกชั้น ดังนั้นอันตรภาคชั้นที่มี

                ฐานนิยมอยู่ คือ อันตรภาคชั้นที่มีความถี่สูงสุด

                อันตรภาคชั้นที่มีความถี่สูงสุด คือ 100-149

                จุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้นนี้ คือ = 124.50

                นั่นคือ ฐานนิยมของจำนวนเงินที่ต้องจ่ายเป็นค่าอาหารของนักเรียนทั้ง 40 คน ในแต่ละสัปดาห์ คือ 124.50 บาท โดยประมาณ ตอบ

3.3 การวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลางกับข้อมูลลักษณะต่างๆ

        การวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง โดยวิธีการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต ค่ามัธยฐานและฐานนิยม เหมาะสมกับข้อมูลในลักษณะต่างๆกันดังนี้

        1.ข้อมูลในมาตรานามบัญญัติ เหมาะจะใช้วิธีหาค่าฐานนิยมเท่านั้น

        2.ข้อมูลในมาตราเรียงลำดับ เหมาะจะใช้วิธีหาค่ามัธยฐาน หรือฐานนิยมก็ได้

        3.ข้อมูลในมาตราอันตรภาค เหมาะจะใช้วิธีหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต ค่ามัธยฐานหรือ ค่าฐานนิยมก็ได้

        4.ข้อมูลในมาตราอัตราส่วน เหมาะจะใช้วิธีหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต ค่ามัธยฐานหรือค่าฐานนิยมก็ได้

        ข้อสังเกตและหลักเกณฑ์ที่สำคัญในการใช้ค่ากลางชนิดต่างๆ มีดังนี้

        1.ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็นค่ากลางที่ได้จากการนำทุกๆค่าของข้อมูลมาเฉลี่ย แต่มัธยฐานและฐานนิยมเป็นเพียงค่ากลางที่ใช้ตำแหน่งที่ (Position) ของข้อมูลบางค่าเท่ากัน

        2. ถ้าในจำนวนข้อมูลทั้งหมดมีข้อมูลบางค่าที่มีค่าสูงหรือค่าต่ำกว่าข้อมูลอื่นๆมาก จะมีผลกระทบต่อค่าเฉลี่ยเลขคณิต กล่าวคือ อาจจะทำให้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตมีค่าสูงหรือต่ำกว่าข้อมูลที่มีอยู่ส่วนใหญ่แต่จะไม่มีผลกระทบต่อมัธยฐานหรือฐานนิยม ดังนั้นกรณีเช่นนี้ควรใช้มัธยฐาน

        3.มัธยฐานและฐานนิยม ใช้เมื่อต้องการทราบค่ากลางของข้อมูลทั้งหมดโดยประมาณและรวดเร็วทั้งนี้เนื่องจากการหามัธยฐานและฐานนิยมบางวิธีไม่จำเป็นต้องมีการคำนวณซึ่งอาจใช้เวลามาก

        4.ถ้าการแจกแจงความถี่ของข้อมูล ประกอบด้วย อันตรภาคชั้นที่มีช่วงเปิดซึ่งอาจเป็นชั้นต่ำสุดหรือชั้นสูงสุดชั้นใดชั้นหนึ่ง หรือทั้งสองชั้น การหาค่ากลางโดยใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตไม่สามารถหาได้ แต่สามารถหามัธยฐานหรือฐานนิยมได้

        5. การแจกแจงความถี่ของข้อมูลที่มีความว้างแต่ละอันตรภาคชั้นไม่เท่ากัน อาจจะมีผลทำให้ค่ากลางที่หาได้โดยใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตหรือฐานนิยมคลาดเคลื่อนไปจากที่ควรจะเป็นได้บ้าง แต่ไม่มีผลกระทบต่อการหามัธยฐาน

        6. ในกรณีที่ข้อมูลเป็นประเภทข้อมูลเชิงคุณภาพ จะสามารถหาค่ากลางได้เฉพาะฐานนิยมเท่านั้น แต่ไม่สามารถหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตหรือมัธยฐานได้

        7. ในกรณีที่สามารถนำข้อมูลมาเรียงลำดับได้ ควรหาค่ากลางคือ มัธยฐานก่อนและถ้าเป็นข้อมูลเชิงปริมาณที่มีค่าต่อเนื่องด้วย ควรใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตแทนมัธยฐานจะเหมาะสมกว่า

        8. ในกรณีที่ข้อมูลมีจำนวนน้อย ฐานนิยมอาจมีค่าแตกต่างกันมากระหว่างข้อมูลชุดหนึ่งกับข้อมูลอีกชุดหนึ่งที่มีจำนวนเท่ากัน จึงไม่ควรใช้ฐานนิยมในกรณีเช่นนี้

        9. ลักษณะเฉพาะของค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม อาจแสดงด้วยข้อมูล 10 ค่าต่อไปนี้ 25 33 35 38 48 55 55 55 56 และ 64 โดยเขียนแผนภาพได้ดังนี้

                จะเห็นว่า ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็นค่ากลางที่แบ่งน้ำหนักข้อมูล 2 ด้านให้มีสมดุล ส่วนมัธยฐานเป็นค่ากลางที่อยู่ตรงกลางของข้อมูลที่เรียงจากน้อยไปมาก (หรือมากไปน้อย) และฐานนิยมเป็นค่ากลางที่อยู่ตรงจุดที่มีความถี่ของข้อมูลหรือจำนวนข้อมูลที่มากทีี่สุด

จะเห็นว่า ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็นค่ากลางที่แบ่งน้ำหนักข้อมูล 2 ด้านให้มีสมดุล